形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.

　　例1 最初的数和最简的图相对应.

　　这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的.

　　例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示，这个图又叫九宫图.

　　例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图.

　　毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.

　　第一个数：1=1

　　第二个数：3=1+2

　　第三个数：6=1+2+3

　　第四个数：10=1+2+3+4

　　第五个数：15=1+2+3+4+5

　　…

　　第n个数：1+2+3+4+5+…+n

　　指定的三角形数.比如第100个三角形数是：

　　例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受

　　毕达哥拉斯及其弟子推崇.

　　第一个数：1=1²=1

　　第二个数：4=2²=1+3

　　第三个数：9=3²=1+3+5

　　第四个数：16=4²=1+3+5+7

　　第五个数：25=5²=1+3+5+7+9

　　…

　　第n个数：n²=1+3+5+9+…+(2n-1).

　　四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.

　　例5 类似地，还有四面体数见下图.

　　仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到：

　　第一个数：1

　　第二个数：4=1+3

　　第三个数：10=1+3+6

　　第四个数：20=1+3+6+10

　　第五个数：35=1+3+6+10+15.

　　例6 五面体数，见下图.

　　仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：

　　第一个数：1=1

　　第二个数：5=1+4

　　第三个数：14=1+4+9

　　第四个数：30=1+4+9+16

　　第五个数：55=1+4+9+16+25.

　　例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.

　　由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.

　　方法1：先算空心点，再算实心点：

2²+2×2+1.

　　方法2：把点图看作一个整体来算32.

　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

2²+2×2+1=3².

　　方法1：先算空心点，再算实心点：

3²+2×3+1.

　　方法2：把点图看成一个整体来算：4².

　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

3²+2×3+1=4².

　　方法1：先算空心点，再算实心点：

4²+2×4+1.

　　方法2：把点图看成一个整体来算5².

　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

4²+2×4+1=5².

　　把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：

　　2²+2×2+1=3²

　　3³+2×3+1=4²

　　4²+2×4+1=5²

　　…

　　n²+2×n+1=(n+1)².

　　利用这个公式，也可用于速算与巧算.

　　如：9²+2×9+1=(9+1)²=10²=100

　　99²+2×99+1=(99+1)²

　　=1002=10000.