2.2  倍数问题

　　当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.

　　例8 有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.

　　解：两堆棋子共有87＋69＝156（个）.

　　为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1＋3＝4（份），即每份有棋子

　　156 ÷（1＋3）＝39（个）.

　　第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是

　　87-39＝48（个）.

　　答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.

　　例9 有两层书架，共有书173本.从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书？

　　解：我们画出下列示意图：

　　我们把第一层（拿走38本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本，即

　　173-38-6＝129（本）

　　恰好是3份，每一份是

　　129÷3=43（本）.

　　因此，第二层的书共有

　　43×2 + 6＝92（本）.

　　答：书架的第二层有92本书.

　　说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.

　　例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？

　　解：设六年级学生人数是“1份”.

　　男生是4份-23人.

　　女生是3份+11人.

　　全校是7份-（23-11）人.

　　每份是（975+12）÷7＝141（人）.

　　男生人数=141×4-23＝541（人）.

　　女生人数=975-541＝434（人）.

　　答：有男生541人、女生434人.

　　例9与例10是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里？

　　70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双？

　　解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6（份）.400＋70将是 3+1＋6＝10（份）.每份是（400＋70）÷10＝47（双）.

　　原有旅游鞋 47×4=188（双）.

　　原有皮鞋 47×6-70＝212 （双）.

　　答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双.

　　设整数的份数，使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷.因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.

　　下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.

　　年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变.

　　例12 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？

　　解：父女相差36岁，这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的（5-1）倍.

　　36÷（5-1）＝9.

　　当时女儿是9岁，14-9＝5，也就是5年前.

　　答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍.

　　例13 有大、小两个水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.

　　解：画出下面示意图：

　　我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.

　　因此每份是

　　（300-70）÷2＝ 115（立方米）.

　　要注入的水量是

　　115-70=45 （立方米）·

　　答：每个水池要注入45立方米的水.

　　例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.

　　例14 今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？

　　解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时，我们设那时弟弟的岁数是1份，哥哥的岁数是2份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1份.

　　题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是2＋1＝3（份）.

　　今年，哥弟俩年龄之和是

　　3＋2=5（份）.

　　每份是 55÷5＝ 11（岁）.

　　哥哥今年的岁数是 11×3＝33（岁）.

　　答：哥哥今年33岁.

　　作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.

　　例15 父年38岁，母年36岁，儿子年龄为11岁.

　　问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？

　　解：现在父母年龄之和是

　　38＋ 36 ＝ 74.

　　现在儿子年龄的 4倍是 11×4＝44.相差

　　74-44＝ 30.

　　从4倍来考虑，以后每年长1×4＝4，而父母年龄之和每年长1＋1＝2.

　　为追上相差的30，要

　　30÷（4-2）＝15（年）·

　　答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍.

　　请读者用例15的解题思路，解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.

　　请读者想一想，例15的解法，与例12的解法，是否不一样？各有什么特点？

　　我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式：

　　（14 ×5-50）÷（5-1）＝ 5（年）.

　　不过要注意 14×5比 50多，因此是 5年前.