第二讲 和、差与倍数的应用题

　　做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算，而且要 多思考，善于发现题目中的数量关系，可以说做应用题是运用数学的开始.

　　加、减、乘是最基本的运算，和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系. 

2.1  和差问题

　　说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：

大数=（和+差）÷2

小数=（和-差）÷2

　　会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算.

　　先看几个简单的例子.

　　例1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？

　　解：95乘以2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此

　　数学得分=（95×2＋8）÷2＝99.

　　语文得分=(95×2-8）÷2＝ 91.

　　答：张明数学得99分，语文得91分.

　　注：也可以从 95×2-99＝91求出语文得分.

　　例2 有 A，B，C三个数，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求这三个数.

　　解：从B+C＝197与A+C＝149，就知道B与A的差是197-149，题目又告诉我们，B与A之和是252.因此

　　B=（252＋ 197-149）÷ 2＝ 150，

　　A＝252-150＝102，

　　C＝149-102＝47.

　　答：A，B，C三数分别是102，150，47.

　　注：还有一种更简单的方法

　　（A+B）＋（B＋C）＋（C＋A）＝2×（A＋B＋C）.

　　上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和.

　　A＋B＋C＝（252＋197＋149）÷2＝299.因此

　　C＝299-252＝47，

　　B＝299-149＝150，

　　A＝299-197＝102.

　　例3 甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？

　　解：画一张简单的示意图，

　　就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多

　　5＋7＋ 5＝ 17（千克）

　　因此，甲、乙两数之和是 75，差为17.

　　甲筐苹果数=（75＋17）÷2＝ 46（千克）.

　　乙筐苹果数=75-46＝29（千克）.

　　答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克.

　　例4 张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？

　　解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是 270元，差是 210元.

　　外衣和鞋价之和=（270＋ 210）÷2＝ 240（元）.

　　外衣价与鞋价之差是140，因此

　　鞋价=（240-140）÷2＝50（元）.

　　答：买这双鞋花50元.

　　再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.

　　例5 李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？

　　解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有

　　钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）.

　　晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.

　　因此

　　钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.

　　现在已把问题转化成标准的和差问题了.

　　钟停的时间=（160＋120）÷ 2＝ 140（分钟）.

　　路上用的时间=160-140＝20（ 分钟）.

　　答：李叔叔的钟停了2小时20分.

　　还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：

　　以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）÷2＝20（分钟）.

　　钟停时间=2小时 40分钟-20分钟

　　=2小时20分钟.

　　例6 小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张？

　　解：甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7＝ 0. 8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（张）.

　　现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意

　　1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.

　　1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.

　　从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是[21.4＋（21.4-3.2）]÷（1.5＋ 0.7）＝ 18（张）.

　　因此，甲卡张数是

　　（18 ＋ 4）÷ 2＝ 11（张）.

　　乙卡张数是 18-11＝ 7（张）.

　　答：小明买甲卡11张、乙卡7张.

　　注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.

　　例7 有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形（A）的周长是240厘米，大长形（B）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？

　　解：大长方形（A）的周长是原长方形的

　　长×2+宽×4.

　　大长方形（B）的周长是原长方形的

　　长×4+宽×2.

　　因此，240+258是原长方形的

　　长×6+宽×6.

　　原长方形的长与宽之和是

　　（240＋258）÷6＝83（厘米）.

　　原长方形的长与宽之差是

　　（258-240）÷2＝9（厘米）.

　　因此，原长方形的长与宽是

　　长：（83＋ 9）÷2＝ 46（厘米）.

　　宽：（83-9）÷2＝37（厘米）.

　　答：原长方形的长是46厘米、宽是37厘米