2.3  盈不足问题

　　在我国古代的算书中，《九章算术》是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题.

　　例16 有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物价是多少？

　　解：“多3元”与“少4元”两者相差

　　3＋4＝7（元）.

　　每个人要多出 8-7＝1（元）.

　　因此就知道，共有7÷1＝7（人），物价是

　　8×7-3＝53（元）.

　　答：共有 7个人一起买，物价是 53元.

　　上面的3＋4可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是

　　总数相差数÷每份相差数=份数

　　这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.

　　例17 把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒？

　　解一：3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的 10 ×3＝ 30（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有

　　10×3÷（16-10）＝ 5（人）.

　　再加上这 3位小朋友，共有小朋友 5＋3＝ 8（人）.这袋糖有

　　10×（5 ＋ 3）＝ 80（粒）.

　　解二：如果我们再增加 16×3粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友

　　16×3÷（16-10）=8（人）·

　　这袋糖有80粒.

　　答：这袋糖有80粒.

　　这里， 16×3是总差，（16-10）是每份差， 8是份数.

　　例18 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人.这个班共有多少名同学？

　　解：如果每条船坐6人，就要增加一条船，也就是现在有6个人无船坐；如果每条船坐9人，可以减少一条船，也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船的人数，两者相差 6＋ 9＝ 15（人）.

　　这是由于每条船多坐（9-6）人产生的，因此共有船

　　（6 ＋ 9）÷(9-6）＝ 5（条）·

　　这个班的同学有 6×5 ＋ 6＝ 36（人）.

　　答：这个班有36人.

　　例19 小明从家去学校，如果每分钟走 80米，能在上课前6分钟到校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？

　　解一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走 80米，就可以多走 80×6（米）；如果每分钟走 50米，就要少走 50×3（米）.请看如下示意图：

　　因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是

　　（80×6＋ 50×3） ÷（80- 50）＝ 21（分钟）.

　　家至学校距离是

　　800×（21-6）＝ 1200（米）·

　　或 50 ×（21+3）＝ 1200（米）.

　　答：小明家到学校的路程是1200米.

　　解二：以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点.

　　用每分钟 50米速度，就要多用 6＋3= 9（分种）.这9分钟所走的 50×9（米），恰好补上前面少走的.因此每分钟80米所需时间是

50×（6＋3）÷（80- 50）＝ 15（分钟）·

　　再看两个稍复杂的例子.

　　例20 一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？

　　解：使人感到困难的是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.

　　假设还有 10个桔子， 10＝ 2×5，就可以多有 5个人，把“少5人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给2×3=6（个）.

　　每人给5个与给6个，总数相差

　　10＋ 10＋ 8＝ 28 (个）.

　　所以原有人数 28÷（6-5)=28（人）.

　　桔子总数是 5 ×28 ＋ 10＝ 150（个）.

　　答：有桔子150个.

　　例21 有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆，梨分完时还剩5个苹果，如果按每3个苹果5个梨分堆，苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少？

解一：我们设想再有10个梨，与剩下5个苹果一起，按“1个苹果、2个梨”前一种分堆，都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看，苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3个苹果，2×3＝6（个）梨.与后一种分堆比较：

　　每堆苹果都是3个.而梨多1个（6-5＝1）.梨的总数相差

　　设想增加 10个+剩下5个=15个.

　　（10 ＋ 5）÷（6- 5）＝ 15.

　　就知有15个大堆，苹果总数是

　　15×3＝ 45（个）.

　　梨的总数是（45－5）×2＝80（个）.

　　答：有苹果45个、梨80个.

　　解二：用图解法.

　　前一种分堆，在图上用梨2份，苹果1份多5个来表示.

　　后一种分堆，只要添上3个苹果，就可与剩的5个梨又组成一堆.梨算作5份，苹果恰好是3份.

　　将上、下两图对照比较，就可看出， 5＋ 3＝ 8（个）是下图中“半份”，即 1份是 16.梨是 5份，共有 16×5＝ 80（个）.苹果有 16×2.5 ＋ 5＝ 45（个）.