71.有趣的“魔术数”

　　你知道“魔术数”吗？

　　将自然数N 接写在另一个自然数的右边（例如，将2 接着写在34 的右边就是342），如果得到的新数都能被N 整除，那么自然数N 就叫做魔术数。

　　小朋友，在小于100 的自然数中，你能找到多少个这样的魔术数，它们各是几？

　　分析与解

　　我们首先发现1 就是一个魔术数。因为不管把1 写在哪一个自然数右边，所得的新数都能被1 整除。在剩下的八个自然数中，可以断定3、4、6、7、8、9 这六个自然数不是魔术数。这只要把这六个数分别接着写在1 后面就可以明白了。那么剩下的2 和5 是不是魔术数呢？回答是肯定的。

　　因为把2 接写在任何一个自然数的右边，所得的新数的个位上的数字总是2，这些新数一定能被2 整除，所以2 是魔术数。同样道理，5 也是魔术数，这样我们就找到了三个一位魔术数：1、2、5.我们再寻找两位魔术数。两位数从10 到99 为止，一共是90 个。我们先把每一个两位数接写在1 后面，很快就能发现，除了10、20、25、50 以外，其余的两位数都不能整除被接在1 后面所得的新数，当然就肯定不是魔术数了。那么10、20、25、50 这四个数是不是魔术数呢？ 10 是魔术数很容易确定。20 也是魔术数，因为把20 接写在自然数a 后面，新数就是（100a＋20），而100a＋20=20×（5a＋1），显然能被20 整除。用上述办法同样可以证明： 25、50 也是魔术数。这样，我们就找到了四个二位魔术数10、20、25、50.细心的小朋友从上面找魔术数的过程中一定会发现，一位魔术数1、2、5 恰好是10 的约数中所有的一位数；二位魔术数10、20、25、50 恰好是100（102）的约数中的所有的二位数。那么，三位魔术数是不是1000（103）的约数中的所有的三位数？四位魔术数是不是104 的约数中的所有四位数？进而n 位魔术数是不是10n 的约数中的所有n 位数？是的。不信你试试看。顺便告诉你，三位魔术数和三位以上的魔术数都是五个。这又是为什么？请你想想看。