41．面积相同的形状

　　测量某种形状的面积与以单位面积的形状单元作镶嵌图案有关．基本的形状单元通常是取正方形．在这道题目中，主要的概念是在面积固定(2平方单位)，以及顶点位置受到限制的情况下，看能找到多少不同的形状．找到新形状的关键是利用图1中的三角形．

　　这些三角形可以用许多不同的方式互相组合，而产生出2平方单位面积的形状．可以用下列两种方式来看任何一种形状的面积：

　　(1)较小形状的总和．

　　(2)从较大的形状切除几部分后所剩余的部分．

　　举例来说，图1中(4)所示的斜线部分的形状，可以视为一个单位正方形与两个面积为单位正方形一半的三角形的总和；或是视为四个单位正方形减去一个单位正方形与两个面积为单位正方形一半的三角形．

　　这个活动比一般教科书上以长乘宽计算长方形面积的方式更基本，而且也更重要．

　　在5×5的钉板上可以找到更多的形状，因为可以形成下列的三角形(图2)．

42．钉板上的面积

　　在解答问题之前，你必须相信自己能够正确导出所作出的形状的面积．

　　所有内部只有1枚钉子的形状皆满足：

　　也就是说，面积恰为该形状边界上钉子数目的一半．

　　所有边界上有12枚钉子的形状皆满足：

A=i+5

　　也就是说，面积等于内部钉子的数目加上5．

　　以上的公式都是皮克特定理的特殊情况．皮克特定理为：

43．钉板上的路径 

　　所有路径的长度都是24，因为要走过25枚钉子，所以必须走24步．一般而言，路径的长度为n²-1．可以找到旋转式对称的路径，试着同时由不同端点出发而在中点会合，就可以找到对称的路径(图1)．

　　可以走对角线时，在3×3的钉板上有许多种走法．因为有9枚钉子，所以由A至B必须走8步．要找到最短的路径，需要交叉移动或上下移动，但要找到最长的路径，就需要尽可能地利用对角线．

　　最短的路径为8单位长(图2)，其中1单位表示钉板上钉子与钉子之间的最短距离．

　　3×3的钉板上，只可能有两种对角线走法，如图3所示．PQ的长√5，约等于2.236单位，QR的长为√2，约为1.414单位。

　　这个结果可由勾股定理导出或用尺量出，但用尺量无法得到与用勾股定理计算同样精确的结果．当路径不得交叉时，最长的路径如图4(1)，其长度大约等于12.13．当路径可以交叉时，就可以运用如PQ的走法，因此最长的路径如图4(2)所示，其长度大约为15.42．

　　请注意这两种解答的对称性．

　　有一种解法看起来比上两种解法都要好，因为其中并不包含任何较短的步骤（图5），不过其长度只有4√5+4√2≈14.6。

45．你能作出多少三角形

　　解这题需要分两步．首先要决定能作出哪几种三角形，然后计算每一种的个数．下列图形是能在3×3钉板上形成的8种三角形．

　　第一种三角形有16个．每4枚钉子组成一个正方形，总共有4个正方形．

　　第二种三角形有16个，钉板边缘的每对钉子都有2个．

　　第三种三角形有8个，每一边有1个，以顶点为中心的有4个．

　　第四种三角形有16个，每一角落有2个，每一边的中点有2个．

　　第五种三角形有4个，钉板的每一角落有1个．

　　第六种三角形有4个，钉板的每一边有1个．

　　第七种三角形有4个，钉板的每一角落有1个．

　　第八种三角形有8个，钉板的每一边有2个．

　　因此总共可以作出76个不同的三角形．

46．你能看出多少三角形

　　把直线相交的所有交点用英文字母予以标示，然后用字母标示出三角形，应该会有所帮助．虽然这个问题与前一题有些类似，但所用的方法却不同．

　　例如，首先记录所有以AB为边的三角形，然后取AC，以此类推．

　　将三角形按字母顺序排列，可以很容易看出是否重复计算了某个三角形．

47．电动船

　　这是个很有趣的题目，最初看起来似乎不太可能有解．

　　不管船的路径如何，除非导航员把船引导至图中的C点，否则两船不可能相遇．在C点，AC的距离等于BC的距离，由B向C的方向也比由A向C的方向多90°．因此当船由A到达C时，另一艘船也会由B驶抵C．

48．四通八达

　　(1)A→C→E→B→D→A→B→C→D→E→A

　　还有许多其他可能的解，如：

　　A→B→C→D→A→C→E→B→D→E→A

　　(2)如果画此网络能使铅笔不离开纸面，或不必走任何线两次，则此网络就具有穿程性(traversability)．在上一小题中，网络具有穿程性；但在这一小题中，网络只能分4个部分画出，故铅笔必须离开纸面3次．

　　最早研究穿程性网络的人是18世纪早期的数学家欧拉(Eu-ler)，他所研究的就是著名的哥尼斯堡桥问题(Knigsbergbridges)．哥尼斯堡是德国的一个城市，普雷格尔河(RiverPregel)流经市区，河中有两座小岛，由7座桥把两岸和两座小岛连接起来，如图1所示．哥尼斯堡的居民长久以来一直想知道要如何才能走遍7座桥，而且每座桥只经过一次，最后又回到出发点，但他们找不到解决方法．当欧拉获知此问题时，他便证明此问题无解．他首先用网络代表上述的地图，将城市的每个区域简化成点，桥简化成弧．现在，该问题就简化成笔不离纸面就画不出网络的问题．

　　欧拉了解问题的关键是，A、B、C、D的弧线数目都是奇数在B、C、D点有3条，在A点有5条(图2)．

　　他证明有奇数条弧的网络结点(奇数结点)，只能作为网络的起点或终点，所以有4个奇数结点的哥尼斯堡桥问题无解．

　　要知道为何奇数结点不能作为网络的中间点，可考虑如图3所示的3-结点P，及其分支1、2与3．对于包含P的网络，当铅笔沿着1来到P点，并经由2离开，然后在走过一些其他弧线之后，应该沿着3回去，但这时却没有可以离开P的其他路．对任何奇数结点皆可以类似地论证，因此奇数结点只能作为起点或终点．只有在“所有的结点都是偶数结点(即具有偶数条弧线)”，或“除了两个作为起点或终点的奇数结点外，所有结点都是偶数结点”这两种情形下，网络才具有穿程性．故哥尼斯堡人如果炸掉AB桥，或是在A与B之间增加第二座桥，就能解决这个问题了．

49．马的位置

　　如图是一种解法．请检查是否每一个方格都会被攻击．

　　也可以用5个王后，或9个王，或8个象得到相同的结果．请试一试！

50．倒转火车

　　为了能有效地解出这个谜题，需要设计一些记录各次移动的方法．如果能用一些标上号码的筹码代表火车，实际在铁路网上移动，将有助于思考．在此题的解答中共作了15次移动，如箭头所示．