第十四讲 列方程解应用题

   在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。

　　列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。

14.1  列简易方程解应用题

　　10x+1，从而有 

　　3（105+x）=10x+1，

　　　　 　7x＝299999，

　　 　　　 x＝42857。

　　答：这个六位数为142857。

　　说明：这一解法的关键有两点：

　　示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。

　　（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。

　　例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？

　　分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。

　　解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得

　　2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。

　　解得x＝500。推知队伍长为

　　（2.6-1.4）×500=600（米）。

　　答：队伍长为600米。

　　说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。

　　例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

　　分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。

　　解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得

　　（x-1）×22=（x-3）×26。

　　解得x=14。所以火车的车身长为

　　（14-1）×22=286（米）。

　　答：这列火车的车身总长为286米。

　　例4 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？

　　分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。

　　解：设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方

　　3×90=270（米），

　　故有

　　72x＝65x+270。

　　由于正方形边长为90米，共四条边，故由

　　可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。

　　答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。