第十三讲 估计与估算

　1992年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第3题是：

的结果是x。那么，与x最接近的整数是____。

　　这道题并不要求求x，而求“与x最接近的整数”，这就是估计或估算。

　　估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：

　　（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；

　　（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。

　　例1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小数点后前3位数字。

　　解：A＞1234÷3122=0.3952…

　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…

　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小数点后前3位数是395。

　　说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下：

　　将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有

　　1234÷3121≈0.3953≈0.395。

得它们的和大于3，至少要选多少个数？

　　解：要使所选的数尽量少，所选用的数就应尽量大，所以应从开头依次选。首先注意到：

　　从而

　　所以，至少应选11个数。

　　说明：（1）上述解答是采用取近似值的办法估值的，也可以利用放缩法估值解答。解法如下：

　　所以，至少应选11个数。

　　（2）以上解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界声、”，而这里的验算只是一种估计或估算，并不要求精确。

　　（3）类似的问题是至少取出多少个数，才能使取出的数的和大于2？

　　答案是7，请读者自己练习。

　　例3 右面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？

　　解：每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中的数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1。这样便可断定，处于百位的两个数字之和是18，而且后面两位数相加进1。

　　同样理由，处于十位的两个数字之和也是18，而且两个个位数字相加后进1。因此，处于个位的两个数字之和必是17。

　　所以，6个方框中数字之和为18＋18＋17=53。

　　例4 如果两个四位数的差等于8921，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，

　　解：最小的四位数是1000，与1000组成一个数对的另一个四位数是 8921＋1000=9921，也就是最小一个数对是 9921与1000。同时由最大的四位数是9999，可知共有

　　9999-（9921—1）=79（个）

　　不同的被减数。所以，这样的数对共有79个。

　　说明：解答的关键在于确定符合条件的的最小数对（9921，1000），同时因为有几个不同的被减数，就有几个不同的减数相对应地存在，所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。

　　例5 七位数175□62□的未位数字是几时，不管千位上是0～9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？

　　解：因为1750620÷11＝159147……3，

　　　　　　1759629÷11＝159966……3，

　　所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628，最大值是1759626。

　　又因为1001=7×11×13，由数的整除性质，可知1750628加上若干个1001，或1759626减去若干个1001后，其值也是11的倍数。这样1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍数。

　　由上述讨论可知七位数175□62□的末位数字是7时，不管其千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

　　说明：上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。此题也可由能被11整除的数的特征入手解决。留给读者思考。