第七讲 工程问题

　　在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

　　工作量=工作效率×时间.

　　在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

　　举一个简单例子.

　　一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

　　一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位

　　所需时间=工作量÷工作效率=6（天）

　　两人合作需要6天.

　　这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.

　　为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是

　　30÷（3+ 2）= 6（天）

　　因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.

　　7.1  两个人的问题

　　标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.

　　例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

　　答：乙需要做4天可完成全部工作.

　　解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是

　　（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.

　　解三：甲与乙的工作效率之比是

　　6∶ 9= 2∶ 3.

　　甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.

　　例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

　　解：共做了6天后，

　　原来，甲做 24天，乙做 24天，

　　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

　　这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率

　　答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

　　例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

　　解：先对比如下：

　　甲做63天，乙做28天；

　　甲做48天，乙做48天.

　　就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

　　甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

　　因此，乙还要做

　　28+28= 56 （天）.

　　答：乙还需要做 56天.

　　例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

　　解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

　　余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

　　2+8+ 1= 11（天）.

　　答：从开始到完工共用了11天.

　　解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

　　（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.

　　解三：甲队做1天相当于乙队做3天.

　　在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

　　4=3+1，

　　其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

　　例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

　　解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

　　由于两队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息的天数是

　　答：乙队休息了5天半.

　　解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　两队休息期间未做的工作量是

　　（3+2）×16- 60= 20（份）.

　　因此乙休息天数是

　　（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.

　　解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.

　　甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

　　如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

　　16-6-4.5=5.5（天）.

　　例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

　　解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.

　　设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

　　8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

　　（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

　　8+4=12（天）.

　　答：这两项工作都完成最少需要12天.

　　例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？

　　解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　两人合作，共完成

　　3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.

　　因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是

　　（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

　　很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.