6.3  其他的面积

　　这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.

　　例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

　　解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.

　　周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是

　　4×4-3-5-1.5＝6.5.

　　例6与本题在解题思路上是完全类同的.

　　例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.

　　解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此

　　三角形AEF面积＝（三角形 AEB面积）-（三角形 AFB面积）

　　＝8×6÷2-4×8÷2

　　＝ 8.

　　　这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.

　　例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？

　　解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.

　　可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此

　　草地面积=（16-2）×（10-2）＝ 112.

　　例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.

　　解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.

　　阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于

　　梯形 ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.

　　上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.

　　例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求这个图形的面积.

　　解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.

　　三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.

　　三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12.

　　这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.

　　因为 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.

　　因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.

　　2×三角形DEC面积

　　= 2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积）.

　　三角形ABC面积

　　= （三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.

　　四边形BCEG面积

　　=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）

　　=（2×12＋18）÷5

　　＝8.4.

　　所求图形面积=12＋ 18- 8.4＝21.6.

　　例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.

　　解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.

　　（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）

　　=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和

　　=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）

　　=3.

　　例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？

解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此

　　（三角形 ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）

　　＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.

　　三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有

　　阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.