小升初数学数论的方法技巧2.3
4.3 配对法 配对的形式是多样的,有数字的凑整配对,也有集合间元素与元素的配对(可用于计数)。传说高斯8岁时求和(1+2+…+100)...
4.3 配对法
配对的形式是多样的,有数字的凑整配对,也有集合间元素与元素的配对(可用于计数)。传说高斯8岁时求和(1+2+…+100)首创了配对。像高斯那样,善于使用配对技巧,常常能使一些表面上看来很麻烦,甚至很棘手的问题迎刃而解。
例7 求1,2,3,…,9999998,9999999这9999999个数中所有数码的和。
解:在这些数前面添一个数0,并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对,因为0与9999999,1与9999998,…,4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对,故所有数码的和是63×5000000=315000000。
例8 某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”。
例如号码 0734,因 0+7=3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。试说明,这个商场所发的购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除。
解:显然,号码为9999的是幸运券,除这张幸运券外,如果某个号码n是幸运券,那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数,所以m≠n。
由于m+n=9999,相加时不出现进位,所以除去号码是9999这张幸运券之外,其余所有幸运券可全部两两配对,而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的倍数。
因为9999=99×101,所以所有幸运券号码之和能被101整除。
试说明分子m是质数89的倍数。
解法:作配对处理
将括号内的分数进行通分,其公分母为
1×88×2×87×3×86×…×44×45=88!,
从而
m×88!=89×k(k=n×q)。
因为89为奇质数,所以89不能整除88!,从而89|m。