1.三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个？

　　参考答案：

　　11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;

　　11,10,10;11,10,9;...11,10,2;

　　11,9,9;...11,9,3;

　　11,8,8;...11,8,4;

　　11,7,7,...11,7,5;

　　11,6,6;

　　1+3+5+7+9+11=6^2=36

　　如果将11改为n的话，

　　n=2k-1时，为k^2个三角形；

　　n=2k时，为(k+1)k个三角形。

　　2.已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．

　　参考答案

　　证明：首先由级数各项为正可知公差d>=0,d=0,则a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一项为完全平方数，所有项均为完全平方数，由于级数的项数为无限，所以命题得证。

　　d>0，时d一定为正整数。不妨设第i项为完全平方数ai=k^2(i=1,2,3,...),则ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也为完全平方数，所以第i+(2k+d)d项为完全平方数，一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)项均为完全平方数（数学归纳法的证明略），由于n可取无穷项，所以命题得证。

　　综上命题成立。

　　3.求所有的素数p，使4p^2＋1和6p^2＋1也是素数．

　　参考答案

　　考虑p对5的余数,余数为1时

　　余数为1时：4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素数；

　　余数为2时：6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素数；

　　余数为3时：6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素数；

　　余数为4时：4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素数；

　　所以由上可知5|p，然而p是质数，所以p只能是5。

　　4.证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n^4＋a都不是素数．

　　参考答案

　　证明：利用费马小定理的另一种形式p|n^(p-1)-1,(p为质数,n为任意自然数)，所以p-1=4,p=5,5|n^4-1,所以5|n^4-1+5,5|n^4+4,5|n^4+9,5|n^4+14...由于n^4+9>5,所以a=9,14,19,24,...5k+4(k=1,2,3,...)均可使z＝n^4＋a都不是素数，所以命题得证。

　　5.证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数

　　参考答案

　　p   p+1    p+2    是3个连续自然数其中必有一个数被3整除,

　　已知   P    P+2是素数,  P   P+2不能被3整除. 则P+1能被3整除.

　　又, P是素数, P一定是奇数,  P+1是偶数,

　　故P+1必被6整除.

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