图1中的幻方满足

　　8+1+6=4+9+2

　　但你可能没有注意到另一种特性：

　　8²+1²+6²=4²+9²+2²

　　同样的，

　　8+3+4=6+7+2

　　且

　　8²+3²+4²=6²+7²+2²

　　其他3×3幻方是否具有同样的性质？再检查一下图2与图3中幻方外侧的行(或列)中的数字平方和是否相等．这是否恒为真？

　　诸如此类，数字和与乘方的和都相等的一组数字，可称为多阶形式(multigrades)．前面所讨论的都是二阶形式，下面则是三阶形式的一个例子：

　　1+5+8+12=2+3+10+11

　　1²+5²+8²+12²=2²+3²+10²+11²

　　1³+5³+8³+12³=2³+3³+10³+11³

　　或许你会以为要找到具有这种性质的数字很困难，其实并非如此．

　　假设我们把上一个例子中的每一个数字加上2，则

　　3+7+10+14=4+5+12+13

　　不只如此，

　　3²+7²+10²+14²=4²+5²+12²+13²

　　而且

　　3³+7³+10³+14³=4³+5³+12³+13³

　　请研究加上其他数字的结果．但我们究竟要如何找出多阶形式？先从简单的等式开始：

　　1+5=2+4

　　如将各项加5：

　　6+10=7+9

　　将等号两边交叉合并，就可以形成二阶形式：

　　1+5+7+9=2+4+6+10

　　1²+5²+7²+9²=2²+4²+6²+10²

　　加至每一项的数字5，是使所有多阶形式中的数字都不相同的最小数字．形成三阶形式的方法也是一样，不过也是以二阶形式为基础的．

　　将10加至上式各项即得：

　　11+15+17+19=12+14+16+20

　　然后两边交叉合并，就可以得到：

　　1ⁿ+5ⁿ+7ⁿ+9ⁿ+12ⁿ+14ⁿ+16ⁿ+20ⁿ

　　=2ⁿ+4ⁿ+6ⁿ+10ⁿ+11ⁿ+15ⁿ+17ⁿ+19ⁿ

　　其中n=1、2或3．用你的计算器来验算是否正确．

　　假设以下式开始：

　　1+5=2+4

　　然后各项加4，而不是加5，这时二阶形式所包含的数字为：

　　(1，5，6，8)与(2，4，5，9)

　　而这可减少为

　　(1，6，8)和(2，4，9)

　　因5为相同的数字．

　　事实上，这就是开始时所介绍的3×3幻方中的数字．

　　现在将这些数字加上5，并利用前述交叉合并的程序，即可得出三阶形式：

　　(1，6，8，7，9，14)与(2，4，9，6，11，13)

　　但6和9为共同的部分，故将它们去掉．这样，我们得到：

　　1+8+7+14=2+4+11+13

　　1²+8²+7²+14²=2²+4²+11²+13²

　　1³+8³+7³+14³=2³+4³+11³+13³

　　试着设计出你自己的多阶形式．只要重复上述的程序，你也可以轻易地作出四阶、五阶或更高阶的形式．