只需要一块打上洞的板子，一些彩色的棋子，你就能独自一人玩下列的游戏，消磨一段快乐时光．

　　跳蛙

　　第一种游戏是把两种颜色(如红与黑)的棋子各3个，如图1所示放在排成一行的7个洞的两端，在中间空一个洞．移动方式包括移到相邻的空位，或是越过一个棋子跳至空的洞中．

　　图2是从起始位置以这两种方式移动的图示．

　　此游戏的目的是要用最少的移动次数，而能使黑色与红色棋子互换位置．试着改变两端棋子的数目，看看你是否能够为x个黑色棋子与y个红色棋子互换位置所需的的移动次数找到公式．

　　换位子

　　第二种游戏与第一种游戏非常类似．起始位置如图3所示，在5×5棋盘上有12个黑色棋子，12个红色棋子，中央空一个洞．

　　移动方式与“跳蛙”相同，不过现在棋子可以上下左右移动，但不可以沿对角线移动．请说明如何用48次移动使两种棋子互换位置．

　　单人棋

　　第三种游戏已有悠久的历史，而且在全世界都相当流行．有的棋具是便宜的塑料制品，有的则采用昂贵的大理石棋子、原木棋盘．

　　这个游戏所用的棋盘有33个洞，如图4所示，共有32个相同颜色的棋子，中间空一个洞．

　　在这个游戏中，移动方式只有一种，就是越过相邻的棋子跳至空位中，被跳过的棋子自棋盘上移去．只能上下左右移动，目标为移去31个棋子，只留下一个棋子．有许多种解法，最好的解法是把最后一个棋子留在中央的位置．

　　除此之外，还有许多颇具传统的游戏(图5)，玩的人也是必须把最后一个棋子留在中央．