7.3  水管问题

　　从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的。水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量。单位时间里的注水量或排水量就是工作效率。至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了。因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同。

　　例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池。现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入0。6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

　　例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等。现在

　　按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池。问开始时打开了几根水管？

　　答：开始时打开6根水管。

　　例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要

　　、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

　　，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。

　　此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺。问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？

　　看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口。

　　因此，答案是28小时，而不是30小时。

　　例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空。现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

　　解：先计算1个水龙头每分钟放出水量。

　　2小时半比1小时半多60分钟，多流入水

　　4 × 60= 240（立方米）。

　　时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是

　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），

　　8个水龙头1个半小时放出的水量是

　　8 × 8 × 90，

　　其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）。

　　打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要

　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）。

　　答：打开13个龙头，放空水池要54分钟。

　　水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水。这在题目中却是隐含着的。

　　例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的。打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空。如果打开A，B两管，4小时可将水排空。问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？

　　答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完。

　　本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量。由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样。这里把两种水量分别设成“1”。但这两种量要避免混淆。事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24。

　　17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题。从本质上讲，与例18和例19是类同的。题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草。这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的。

　　例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一

　　草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草。问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？

　　解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数。根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位。

　　原有草+4星期新长的草=12×4。

　　原有草+9星期新长的草=7×9。

　　由此可得出，每星期新长的草是

　　（7×9-12×4）÷（9-4）=3。

　　那么原有草是

　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）。

　　对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是

　　这些草能让

　　90×7.2÷18=36（头）

　　牛吃18个星期。

　　答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草。

　　例20与例19的解法稍有一点不一样。例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算。事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空。”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系。但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件。好好想一想，你能明白其中的道理吗？

　　“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现。限于篇幅，我们只再举一个例子。

　　例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。问第一个观众到达时间是8点几分？

　　解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位。

　　从9点至9点9分进入观众是3×9，

　　从9点至9点5分进入观众是5×5。

　　因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是

　　（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5。

　　9点前来的观众是

　　5×5-0.5×5=22.5。

　　这些观众来到需要

　　22.5÷0.5=45（分钟）。

　　答：第一个观众到达时间是8点15分。

　　从例20和例21中，我们也注意到，设置计算单位的重要性。选择适当的量作为计算单位，往往使问题变得简单且易于表达。本书中多次提到设单位问题，请同学们注意学习。