3.3  归纳法

　　当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。

例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：

　　（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；

　　（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；

　　（3）划去这些两位数中的合数；

　　（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；

　　（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。

　　问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？

解：第1次操作得数字串711131131737；

　　第2次操作得数字串11133173；

　　第3次操作得数字串111731；

　　第4次操作得数字串1173；

　　第5次操作得数字串1731；

　　第6次操作得数字串7311；

　　第7次操作得数字串3117；

　　第8次操作得数字串1173。

　　不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117。

例11 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？

分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：

　　设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：

　　（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；

　　（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。

　　取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。

　　说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：

　　传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1，2，3，…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？

　　例12 要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？

分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

　　（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

　　（2）称重2克，有3种方案：

　　①增加一个1克的砝码；

　　②用一个2克的砝码；

　　③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。

　　（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

　　（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。

　　（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

　　9-（3+1）=5，

　　即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。

　　而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

　　14+13=27（克），

　　可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。

　　总之，砝码的重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

　　这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1，3，

　　这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案。