1.2  环形路上的行程问题

　　人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.

　　例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

　　（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？

　　（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

　　解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是

　　500÷1.25-180=220（米/分）.

　　（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是

　　500÷（220-180）＝12.5（分）.

　　220×12.5÷500＝5.5（圈）.

　　答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.

　　例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

　　解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是

　　80×3＝240（米）.

　　240-60=180（米）.

　　180×2＝360（米）.

　　答：这个圆的周长是360米.

　　在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.

　　例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？

　　解：画示意图如下：

　　如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是

　　40×3÷60＝2（小时）.

　　从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了

　　6×2-2＝10（千米）.

　　小王已走了 6＋2=8（千米）.

　　因此，他们的速度分别是

　　小张 10÷2＝5（千米/小时），

　　小王 8÷2=4（千米/小时）.

　　答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.

　　例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

　　解：画示意图如下.

　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了

　　3.5×3＝10.5（千米）.

　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是

　　10.5-2＝8.5（千米）.

　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

　　3.5×7＝24.5（千米），

　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

　　就知道第四次相遇处，离乙村

　　8.5-7.5=1（千米）.

　　答：第四次相遇地点离乙村1千米.

　　下面仍回到环行路上的问题.

　　例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？

　　解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

　　12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.

　　出发后2小时10分小张已走了

　　此时两人相距

　　24-（8＋11）=5（千米）.

　　由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是

　　5÷（4＋6）＝0.5（小时）.

　　2小时10分再加上半小时是2小时40分.

　　答：他们相遇时是出发后2小时40分.

　　例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

　　爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

　　解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.

　　30÷（5-3）＝15（秒）.

　　因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要

　　90÷（5-3）＝45（秒）.

　　B与C到达同一位置，出发后的秒数是

　　15，，105，150，195，……

　　再看看A与B什么时候到达同一位置.

　　第一次是出发后

　　30÷（10-5）=6（秒），

　　以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要

　　90÷（10-5）＝18（秒），

　　A与B到达同一位置，出发后的秒数是

　　6，24，42，，78，96，…

　　对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.

　　答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.

　　请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？

　　例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求

　　解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.

　　设汽车行驶CD所需时间是1.

　　根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出

　　分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.

　　从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.

　　PC上所需时间-PD上所需时间

　　=DA所需时间-CB所需时间

　　=18-12

　　=6.

　　而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得

　　PC上所需时间是（24+6）÷2＝15，

　　PD上所需时间是24-15＝9.

　　现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有

　　BN上所需时间-AN上所需时间

　　=P→D→A所需时间-CB所需时间

　　=（9＋18）-12

　　= 15.

　　BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间

　　=16.

　　立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.

　　从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.