例1:计算:

19+199+1999+19999+199999

解:
19+199+1999+19999+199999
=20+200+2000+20000+200000-1×5=222220-5
=222215

例2:1^2+2^2+3^2+4^2+……+10^2
运用公式:1^2+2^2+3^2+……+N^2=N(N+1)×(2N+1)÷6

解:1^2+2^2+3^2+……10^2
=10×(10+1)×(2×10+1)÷6
=10×11×21÷6
=385

例3:2+8+18+32+……+200

解:2+8+18+32+……+200
=2×(1+4+9+16+……+100)
=2×(1^2+2^2+3^2+4^2+……+10^2)
=2×[10×(10+1)×(2×10+1)÷6]
=2×10×11×21÷6
=770

例4:20^2+21^2+22^2+……+50^2

解:20^2+21^2+22^2+……+50^2
=(1^2+2^2+3^2+……+50^2)-(1^2+2^2+3^2+……+19^2)
=50×(50+1)×(2×50+1)÷6-19×(19+1)×(2×19+1)÷6
=42925-2470
=40455

例5:一堆相同的立方体堆积如右图所示,第一层1个,第2层3个,第三层6个,……，第二十层有多少个?

解:第一层有:1个
　第二层有:1+2个
　第三层有:1+2+3=6个……
　第二十层有:1+2+3+……+20=210个
　

____________________ 　练　习　 _____________________

(1)599996+49997+3998+409
解：原式=600000+50000+4000+400-4-3-2+9=654400

(2)3+12+27+……＋1200
解：原式=3×(1+4+9+……400)=3×(1^2+2^2+3^2+……+20^2)
　　　　=3×20×(20+1)×(2×20+1)÷6=3×20×21×41÷6=8610

(3)1^2+2^2+3^2+……+100^2
解：原式=100×(100+1)×(2×100+1)÷6
　　　　=100×101×201÷6
　　　　=338350

(4)50^2+51^2+52^2+……+100^2
解：原式=(1^2+2^2+3^2+……+100^2)-(1^2+2^2+3^2+……+49^2)
　　　　=100×(100+1)×(2×100+1)÷6-49×(49+1)×(2×49+1)÷6
　　　　=338350-40425
　　　　=297925

(5)5+20+45+80+……+500
解：原式=5×(1+4+9+16+……+100)
　　　　=5×(1^2+2^2=3^2+4^2+……+10^2)
　　　　=5×[10×(10+1)×(2×10+1)÷6]
　　　　=1925